ISTRUZIONI PER GEOMETRICOCKTAIL

Chi parteciperà all’evento del 21 dicembre (qui) potrà avere già ora un chiarimento su questo esperimento di sala bar / matematica.

Copiamo qui un testo che il Prof. Federico De Benedictis ha pubblicato al link https://hackmd.io/@federicodb/geometricocktail.

 

GeometriCOcktail rappresenta l’occasione per l’applicazione di concetti primitivi della geometria, della matematica e della fisica alla preparazione ed alla presentazione di cocktail, nel contesto di un Istituto Professionale ad indirizzo Alberghiero.
L’obiettivo è integrare l’acquisizione delle competenze legate alle discipline di base e a quelle professionalizzanti in maniera sinergica in un’ottica STEM (Science, Technology, Engineering, Mathematics).
È stato fatto uso intensivo di tecnologie di manifattura additiva, ovvero della stampa 3D. In questo modo è stato possibile passare con facilità dalla teoria alla pratica, dalla progettazione alla sperimentazione.

La natura è un libro scritto con caratteri matematici (Galileo Galilei)

Il teorema di Pitagora

Ogni volta che abbiamo davanti un triangolo rettangolo (e succede spesso!) di lati $a,b,c$a,b,c possiamo essere sicuri di una cosa: la somma delle aree dei quadrati costruiti sui cateti uguaglia l’area del quadrato che ha per lato l’ipotenusa, ossia

$a^2+b^2=c^2$a2+b2=c2

Questo è l’enunciato del teorema di Pitagora, la descrizione di un fenomeno osservato e descritto sin dall’antichità da civiltà molto lontane fra loro dal punto di vista geografico e cronologico. Ha una fama tanto diffusa che appare banale. Eppure molti studenti hanno difficoltà nel visualizzare, memorizzare e sfruttare questa conquista di civiltà.

Il misurino pitagorico

Abbiamo progettato un misurino pitagorico, pensato come una dimostrazione didattica del teorema. Mette in relazione i volumi dei parallelepipedi costruiti a partire da un triangolo rettangolo. Le proporzioni fra i lati diventano le proporzioni fra gli ingredienti di un cocktail.
Agli studenti è stato proposto l’esercizio di dimensionamento del misurino a partire dalle dosi previste da diversi cocktail. Le equazioni di secondo grado sono diventate lo strumento, non il fine!

Le spirali di Fibonacci

In natura tutte le cose più belle seguono criteri apparentemente semplici.
Leonardo Pisano, detto Fibonacci, un matematico italiano vissuto nel 1200 che ha permesso la fusione fra la geometria greca euclidea e gli strumenti di calcolo del mondo arabo, ha legato il suo nome al concetto di sezione aurea, ovvero un numero irrazionale che rappresenta il rapporto fra due lunghezze diverse. Se i lati di un rettangolo rispettano tale rapporto reciproco l’occhio umano percepisce armonia, coerenza, bellezza. Questo era noto agli antichi greci come agli indiani, e quindi a tutte le popolazioni che sono entrate in contatto con loro.

Dove troviamo le spirali di Fibonacci?

Le spirali sono legate alla successione di Fibonacci, una successione di numeri interi in cui ciascun numero è la somma dei due precedenti, eccetto i primi due che sono, per definizione, $0$0 e $1$1.
I primi numeri che la costituiscono sono $0,1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,\dots$0,1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,…
È una successione che cresce molto velocemente.

Le piante usano questo criterio per crescere in maniera che la luce venga assorbita in maniera omogenea, con la fillotassi (dal greco phyllon=foglia + taxis=ordine).
Anche le conchiglie, le pigne, i girasoli, i cicloni e le galassie usano lo stesso criterio, e non sanno contare!

Noi abbiamo prodotto un bicchiere, progettato a partire da un esagono che cresce e che ruota su un asse verticale, secondo criteri ispirati proprio alla spirale di Fibonacci.

I solidi platonici

In matematica intendiamo con solido platonico un solido regolare, che ha per facce poligoni regolari congruenti, e che ha tutti gli spigoli congruenti fra loro.
Ne esistono solo cinque:

1. tetraedro (4 facce)
2. esaedro, o cubo (6 facce)
3. ottaedro (8 facce)
4. dodecaedro (12 facce)
5. icosaedro (20 facce)

Il supporto per la goccia

Abbiamo creato una base per un cocktail originale, contenuto in una goccia ghiacciata, partendo da un tetraedro, una particolare piramide a base triangolare, che ha le 4 facce costituite da triangoli equilateri. Al tetraedro è poi stata sottratta una sfera del diametro pari a quello della goccia. In questo modo la curvatura del taglio permette alla goccia di rimanere in equilibrio, e l’eventuale liquido causato dallo scioglimento del ghiaccio viene raccolto dal tetraedro.

I ghiaccioli platonici

I solidi platonici sono diventati dei ghiaccioli!
Abbiamo usato una stampa 3D per creare uno stampo in silicone, in cui versare acqua (o cioccolato fuso).
Abbiamo usato un tetraedro ed un icosaedro.

L’equilibrio

Attraverso la stampa 3D è stato creato il supporto per una bottiglia di vino. Il design è molto semplice, è ricavato da una porzione di circonferenza.
La bottiglia rimane in equilibrio in quanto la perpendicolare che passa per il suo baricentro ricade proprio nell’area di contatto fra il supporto e la superficie su cui questo è appoggiato. Si può regolare la stabilità dell’equilibrio spostando di qualche millimetro il collo della bottiglia.
Non è magia, è fisica!

La tassellazione

In geometria, per tassellazione si intende la configurazione costituita da poligoni che ricoprano l’intero piano senza sovrapporsi a due a due; il termine è usato, con significato analogo, anche nella geometria dello spazio.

Particolare interesse hanno assunto, per le loro applicazioni alla cristallografia, le tassellazioni periodiche, ossia quelle costruite ripetendo indefinitamente una cella elementare di base. Nel piano, si possono costruire tassellazioni periodiche utilizzando come cella elementare un poligono regolare (caratterizzato da lati congruenti ed angoli uguali) solo nel caso in cui tale poligono sia un triangolo equilatero, un quadrato o un esagono regolare.

I sottobicchiere

La stampa 3D ci ha dato la possibilità di sperimentare con la tassellazione, aiutandoci nel design di sottobicchieri flessibili, (composti di maglie intersecate fra loro che riempiono in maniera regolare un’area quadrata), sottobicchieri di forma circolare, il cui riempimento è costituito da figure geometriche “tassellanti”.

Il taglia-pasta di Sierpinski

Inoltre sono stati creati dei taglia-pasta a forma di triangolo equilatero, che combinati con un certo criterio hanno permesso di ricreare una geometria frattale molto affascinante, il triangolo di Sierpinski.

Il triangolo di Sierpinski è ottenuto a partire da un triangolo equilatero di area $A_0$A0.
Congiungendo i punti medi dei lati si ottiene una suddivisione del triangolo originale in 4 triangoli, di cui uno (quello bianco) capovolto.
Pensiamo di scartare il triangolo capovolto. Allora l’area restante è pari ai $\frac{3}{4}$34 di $A_0$A0.
Se continuiamo per successive iterazioni, otteniamo ad ogni passaggio i $\frac{3}{4}$34 dell’area del passaggio precedente. L’area decresce rapidamente, mentre il perimetro totale cresce.

Continuando all’infinito otteniamo un frattale, ossia un oggetto geometrico che si ripete nella sua forma allo stesso modo su scale diverse, e dunque ingrandendo una qualunque sua parte si ottiene una figura simile all’originale. Si dice quindi geometria frattale, la geometria (non euclidea) che studia queste strutture, ricorrenti ad esempio nella progettazione ingegneristica di reti e in molti fenomeni naturali, dal microscopico alle galassie.

Dal punto di vista didattico il triangolo di Sierpinski dà la possibilità di discutere di frazioni, di potenze, di successioni, sommatorie e limiti.